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Superficies cuádricas: ejercicios resueltos en PDF

Las superficies cuádricas son aquellas que se pueden obtener al girar una cónica alrededor de un eje. Algunos ejemplos de superficies cuádricas son las esferas, los cilindros, los conos, los elipsoides, los paraboloides y los hiperboloides. Estas superficies tienen una gran importancia en la geometría, la física y la ingeniería, ya que modelan muchas formas naturales y artificiales.

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En este artículo te presentamos una colección de ejercicios resueltos de superficies cuádricas en formato PDF, que puedes descargar gratis y estudiar a tu ritmo. Estos ejercicios te ayudarán a comprender mejor las propiedades y características de las superficies cuádricas, así como a graficarlas y clasificarlas según su ecuación.

Cómo se define una superficie cuádrica?

Una superficie cuádrica se define como el conjunto de puntos (x,y,z) del espacio tridimensional que satisfacen una ecuación de la forma:

Ax + By + Cz + Dxy + Exz + Fyz + Gx + Hy + Jz + K = 0

donde A, B, C, D, E, F, G, H, J y K son constantes reales.

Esta ecuación se puede simplificar mediante un cambio de coordenadas adecuado, que consiste en trasladar el origen al centro de la superficie y rotar los ejes para alinearlos con los ejes principales de simetría de la superficie. De esta forma, se obtiene una ecuación reducida que solo contiene términos cuadráticos.

Qué tipos de superficies cuádricas existen?

Según la ecuación reducida que se obtiene al simplificar la ecuación general de una superficie cuádrica, se pueden distinguir los siguientes tipos:

• Esfera: es la superficie cuádrica más simple y simétrica. Se define como el conjunto de puntos que están a una misma distancia (radio) de un punto fijo (centro). Su ecuación reducida es: x + y + z = r.

• Cilindro: es la superficie cuádrica que se genera al desplazar una curva plana (directriz) a lo largo de una recta (eje) que no está contenida en el plano de la curva. Su ecuación reducida tiene solo dos términos cuadráticos. Por ejemplo: x + y = r.

• Cono: es la superficie cuádrica que se forma al girar una recta (generatriz) alrededor de otra recta (eje) que no es paralela ni perpendicular a la primera. Su ecuación reducida tiene tres términos cuadráticos con signos distintos. Por ejemplo: z = x

• Elipsoide: es la superficie cuádrica que se obtiene al estirar o comprimir una esfera en diferentes direcciones. Su ecuación reducida tiene tres términos cuadráticos con signos iguales. Por ejemplo: x

• Hiperboloide: es la superficie cuádrica que se genera al girar una hipérbola alrededor de uno de sus ejes. Su ecuación reducida tiene tres términos cuadráticos con dos signos iguales y uno distinto. Según el eje de rotación, se distinguen dos tipos: hiperboloide de una hoja y hiperboloide de dos hojas. Por ejemplo: x

• Paraboloide: es la superficie cuádrica que se produce al girar una parábola alrededor de su eje. Su ecuación reducida tiene dos términos cuadráticos con un signo igual y uno distinto. Según la dirección del eje de rotación, se diferencian dos tipos: paraboloide elíptico y paraboloide hiperbólico. Por ejemplo: z = x

Ejercicios resueltos de superficies cuádricas en PDF

A continuación te ofrecemos una serie de ejercicios resueltos de superficies cuádricas en formato PDF, que puedes descargar gratis haciendo clic en el enlace correspondiente. Estos ejercicios te servirán para practicar el reconocimiento, la clasificación y el trazado de las diferentes superficies cuádricas.

• Ejercicios resueltos de superficies cilíndricas - Cálculo volumen 3 OpenStax

• Ejercicios resueltos de esferas, elipsoides e hiperboloides - 7 Superficies cuadráticas

• Ejercicios resueltos de conos y paraboloides - 1 CUÁDRICAS - UAH

• Ejercicios resueltos de intersección entre planos y superficies cuádricas - ejercicios de superficies cuadricas - 820 CAPÍTULO 11 ... - Studocu

Eperamos que estos ejercicios resueltos de superficies cuádricas en PDF te hayan sido útiles para mejorar tu comprensión y habilidad con este tema tan interesante y aplicado a diversas áreas del conocimiento.

Cómo se grafican las superficies cuádricas?

Para graficar una superficie cuádrica, se puede utilizar un software especializado o seguir los siguientes pasos:

• Identificar el tipo de superficie cuádrica según su ecuación reducida.

• Determinar el centro, los ejes principales y los parámetros de la superficie cuádrica.

• Dibujar las trazas de la superficie cuádrica con los planos coordenados x=0, y=0 y z=0. Estas trazas son secciones cónicas que ayudan a visualizar la forma de la superficie.

• Unir las trazas con curvas suaves que sigan la simetría de la superficie cuádrica.

Veamos algunos ejemplos de cómo graficar superficies cuádricas siguiendo estos pasos.

Ejemplo: Graficar la superficie cuádrica x/4 + y/9 + z/16 = 1

Solución:

• La ecuación reducida tiene tres términos cuadráticos con signos iguales, por lo que se trata de un elipsoide.

• El centro del elipsoide es el origen (0,0,0). Los ejes principales son los ejes coordenados x, y y z. Los parámetros del elipsoide son a=2, b=3 y c=4.

Las trazas del elipsoide con los planos coordenados son las siguientes:

• Con el plano x=0, se obtiene la ecuación y/9 + z/16 = 1, que corresponde a una elipse centrada en el origen con semiejes 3 y 4 en las direcciones y y z respectivamente.

• Con el plano y=0, se obtiene la ecuación x/4 + z/16 = 1, que corresponde a una elipse centrada en el origen con semiejes 2 y 4 en las direcciones x y z respectivamente.

• Con el plano z=0, se obtiene la ecuación x/4 + y/9 = 1, que corresponde a una elipse centrada en el origen con semiejes 2 y 3 en las direcciones x y y respectivamente.

• Uniendo las trazas con curvas suaves que sigan la forma de un elipsoide, se obtiene el siguiente gráfico:

Ejemplo: Graficar la superficie cuádrica z = x - y

Solución:

• La ecuación reducida tiene dos términos cuadráticos con signos distintos y uno ausente, por lo que se trata de un paraboloide hiperbólico.

• El centro del paraboloide hiperbólico es el origen (0,0,0). Los ejes principales son los ejes coordenados x, y y z. El parámetro del paraboloide hiperbólico es a=1.

Las trazas del paraboloide hiperbólico con los planos coordenados son las siguientes:

• Con el plano x=0, se obtiene la ecuación z = -y, que corresponde a una parábola cóncava hacia abajo con vértice en el origen y eje en la dirección z.

• Con el plano y=0, se obtiene la ecuación z = x, que corresponde a una parábola cóncava hacia arriba con vértice en el origen y eje en la dirección z.

• Con el plano z=0, se obtiene la ecuación x - y = 0, que corresponde a dos rectas perpendiculares que pasan por el origen y forman las asíntotas de las parábolas anteriores.

• Uniendo las trazas con curvas suaves que sigan la forma de un paraboloide hiperbólico, se obtiene el siguiente gráfico:

Ejemplo: Graficar la superficie cuádrica 9x + 4y - 36z = 36

Solución:

• La ecuación reducida tiene tres términos cuadráticos con dos signos iguales y uno distinto, por lo que se trata de un hiperboloide.

• El centro del hiperboloide es el origen (0,0,0). Los ejes principales son los ejes coordenados x, y y z. Los parámetros del hiperboloide son a=2, b=3 y c=1.

Las trazas del hiperboloide con los planos coordenados son las siguientes:

• Con el plano x=0, se obtiene la ecuación y/9 - z/1 = 1, que corresponde a una hipérbola centrada en el origen con semiejes 3 y 1 en las direcciones y y z respectivamente.

• Con el plano y=0, se obtiene la ecuación x/4 - z/1 = 1, que corresponde a una hipérbola centrada en el origen con semiejes 2 y 1 en las direcciones x y z respectivamente.

• Con el plano z=0, se obtiene la ecuación 9x/36 + 4y/36 = 1, que corresponde a una elipse centrada en el origen con semiejes 2 y 3 en las direcciones x y y respectivamente.

• Uniendo las trazas con curvas suaves que sigan la forma de un hiperboloide de una hoja, se obtiene el siguiente gráfico:

Conclusión

En este artículo hemos visto qué son las superficies cuádricas, cómo se clasifican según su ecuación reducida y cómo se grafican mediante las trazas con los planos coordenados. También hemos presentado una serie de ejercicios resueltos de superficies cuádricas en formato PDF, que puedes descargar gratis y usar como material de estudio o consulta.

Las superficies cuádricas son un tema muy interesante y útil para entender la geometría del espacio tridimensional y sus aplicaciones en diversas áreas del conocimiento. Esperamos que este artículo te haya sido de ayuda y que hayas aprendido algo nuevo sobre las superficies cuádricas. 4e3182286b

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